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In MicroFe werden die Schnittgrößen für die Bemessung und der Nachweis der Erdbebensicherheit von Bauwerken mit Hilfe linear-elastischer Verfahren durchgeführt. Das multimodale Antwortspektrenverfahren bildet das Standard-Rechenverfahren, bei dem alle maßgeblich zur Bauwerksreaktion (Bauwerksantwort) beitragenden Modalanteile bei der Berechnung der Kraft- und Verformungsgrößen des Tragwerks berücksichtigt werden.
Das prinzipielle Vorgehen in MicroFe mit den wesentlichen Eingabeschritten und den zugehörigen Berechnungsgrundlagen zur Bearbeitung von Erdbebennachweisen nach DIN EN 1998-1 [1] wird im nachfolgenden Artikel vorgestellt. Dazu wird ein sechsgeschossiges Gebäude untersucht. Das Gebäude wird zu diesem Zweck als räumliches Modell mit Stab- und Schalenelementen diskretisiert. Möglichst alle tragenden Elemente sollten in dem Modell abgebildet werden, so dass Berechnung und Nachweis am gleichen Modell erfolgen können.
Erdbebennachweise folgen in MicroFe einem festen Schema:
2. Definition von Erdbebenlastpositionen
3. Definition der seismischen Erregung
4. Erstellung von statischen Ersatzlasten
Protokoll der Berechnung der seismischen Lasten
Zufällige (nicht planmäßige) Torsionswirkung
Für die Erdbebennachweise nach DIN EN 1998-1 [1] werden nachfolgende Eingabeparameter verwendet:
· Erdbebenzone
3 mit dem Referenz-Spitzenwert der Bodenbeschleunigung agR
= 0.8 m /s²
([2]; Bild NA.1, Tabelle NA.3)
· Baugrundklasse
A, Untergrundklasse R, Untergrundverhältnisse A-R
([2]; NDP zu 3.1.2(1), Bild NA.2, NCI NA 3.1.3)
· Bedeutungskategorie
III mit dem Bedeutungsbeiwert γ = 1.2
([2]; Tabelle NA.6)
· Duktilitätsklasse
DCL (niedriges Energiedissipationsvermögen) und dem Verhaltensbeiwert
q = 1.5
([2]; Tabelle NA.7)
Die Tragwerksberechnung wird mittels des multimodalen Antwortspektrenverfahrens durchgeführt, bei dem der Einfluss des inelastischen Tragverhaltens global durch die Berücksichtigung des q-Faktors (Verhaltensbeiwert) bei der Bestimmung des Bemessungsspektrums erfasst wird. ([1]; 3.2.2.5)
Um die Eigenformen und die Eigenschwingzeiten des Systems zu ermitteln, ist im ersten Schritt eine dynamische Berechnung erforderlich. Für die Berücksichtigung der statischen Lasten als Massen ist für jeden Lastfall ein Faktor (siehe Zusammenstellung im Anschluss an diesen Absatz) anzugeben, mit dem die Kräfte in Massen und Momente in Trägheitsmassen umgerechnet werden. Die Wirkungsrichtung der Massen und Trägheitsmassen wird in alle Richtungen berücksichtigt und ist somit unabhängig von der Wirkungsrichtung der ursprünglichen Belastung. Die Eingabe dieser Faktoren erfolgt im Dialog „Lastfallkombinationen“, den Sie über die „Berechnungseinstellungen“ erreichen. Um den Einstellungsdialog zu öffnen, klicken Sie im Register „FE-Modell“ in der Gruppe „FE-Berechnungen“ auf die Schaltfläche „Optionen“.
Um die o.g. Lasten anzusetzen, wird als Lastfallfaktor der Quotient (ψE/g) eingetragen. In diesem Beispiel wird mit folgenden Werten gerechnet:
Um die Werte einzugeben, betätigen Sie die Schaltfläche "Bearbeiten" im Dialog "Berechnungseinstellungen":
Es öffnet sich der nachfolgende Dialog 'Lastkombinationen':
Die Eigenfrequenzen und Eigenformen des Systems werden durch eine dynamische Analyse ermittelt. Deren Berechnung startet in MicroFe über die Schaltfläche "Eigenform" im Register "Auswirkungen" des Menübandes.
Die dynamische Berechnung sollte
ohne Berücksichtigung von konstruktiven Nichtlinearitäten und
ohne Einsatz der Bodenmodellierung mit Volumenelementen
durchgeführt werden.
Sollen zur Berücksichtigung der zufälligen (nicht planmäßigen) Torsionswirkung zusätzliche Massen verwendet werden, sind diese, aufgrund ihres Einflusses auf die Eigenformen des Modells, bereits in diesem Schritt in das Modell einzutragen und einem eigenen Lastfall mit entsprechender Typisierung zu zuweisen (siehe auch Hinweis und Abbildung im Kapitel 'Zufällige Torsionswirkung').
Als Ergebnis der dynamischen Berechnung stehen die Eigenvektoren und die zugehörigen Eigenformen zur Verfügung, die tabellarisch und/oder grafisch auszugeben sind.
Um seismische Lasten erzeugen zu können, ist die Festlegung mindestens eines Auswertungsraumes erforderlich. In diesem Auswertungsraum werden die FE-Knotenmassen und die daraus erzeugten seismischen Ersatzlasten ausgewertet. Durch Setzen einer Erdbebenlast (Register "Einwirkungen", Schaltfläche "Erdbebenlast") wird in MicroFe ein Auswertungsraum definiert. Hierzu stehen drei Möglichkeiten zur Verfügung: Die Definition des Auswertungsraumes kann entweder über geschossbezogene Niveaus, über eine Positionsgruppe oder über eine 3D-Box erfolgen. Die Koordinaten der zu definierenden 3D-Box sind als globale Koordinaten anzugeben.
Um gezielt Massen und Ersatzlasten in unterschiedlichen Teilbereichen des Tragwerks auswerten zu können, sind mehrere Erdbebenlastpositionen (sinnvollerweise je Geschoss) mit entsprechenden Auswertungsbereichen zu definieren. Überschneiden sich zwei Auswertungsbereiche, werden Massen und Ersatzlasten nur in einem der beiden Bereiche ausgewertet. Mit der Ausgabe Erdbebenlast-LastDef (Register "FE-Modell", Gruppe "Positionen" untere Hälfte der geteilten Auswahlschaltfläche "Lasten") lassen sich nach Ermittlung der Ersatzlasten die Massen und Ersatzlasten dokumentieren.
In diesem Beispiel wird zunächst im Erdgeschoss eine Erdbebenlast auf die Geschossdecke gesetzt. Als Auswertungsbereich soll jeweils die halbe Geschosshöhe unter- und oberhalb der Geschossdecke verwendet werden. In den Eigenschaften der Erdbebenlast, im gleichnamigen Register, wird der Auswertungsbereich über eine '3D-Box' mit globalen Koordinaten definiert.
Hinweis: Bei regelmäßiger Geschosshöhe bietet es sich an, durch mehrfaches Kopieren der Erdbebenlastposition des Erdgeschosses die Erdbebenlasten der übrigen Geschosse zu erzeugen. Dabei werden die Koordinaten des Auswertungsbereiches entsprechend angepasst. In einem Geschossmodell sollte nach dem Kopieren die Geschosszugehörigkeit der neuen Erdbebenlasten angepasst werden (Eigenschaften der Erdbebenlast, Kapitel „Allgemein“, Frage „Geschoss“).
Nach der dynamischen Berechnung und der Definition der Erdbebenlasten sind eine oder mehrere seismische Erregungen zu definieren. Klicken Sie dazu auf die Schaltfläche "Erdbebenersatzlasten ermitteln" im Register „Einwirkungen“.
Für die Festlegung der seismischen Erregung sind im Dialog „Seismische Erregung(en) zur Ermittlung der Erdbebenersatzlasten“ folgende Parameter zu belegen:
· Es ist eine Einwirkung vom Typ 'Erdbeben' zu wählen, zu der alle nachfolgend erzeugten Lasten zugeordnet werden. Standardmäßig ist die Einwirkung AEd voreingestellt. Über einen Klick auf den nach unten zeigenden Pfeil kann diese auch verändert werden.
· Der Faktor dient zur Skalierung der Bemessungs-Antwortspektren nach DIN EN 1998-1. Alle Ordinaten des gewählten Antwortspektrums werden mit diesem Faktor multipliziert. Die Größe des Faktors ist abhängig vom vorliegenden Antwortspektrum. Liegt das Spektrum in normierter Form z.B nach DIN EN 1998-1 vor, ist der Faktor nach der unterhalb angegeben Formel zu ermitteln. Falls das gewählte Antwortspektrum nicht in normierter Form vorliegt, ist für den Faktor 1.0 zu verwenden. Der Faktor wird ermittelt aus:
Für dieses Beispiel ist der Faktor (agR * γ1/ q) = (0,8*1,2/ 1,5) = 0.64 einzutragen.
Die Plateauwerte nach Formel ergeben sich damit zu:
Bei den nach DIN EN 1998-1 definierten Antwortspektren wird generell die viskose Dämpfung mit 5% berücksichtigt.
Falls der Verhaltensbeiwert q>1 sein sollte, ist die erste Ordinate des normierten Antwortspektrums Sd‘(0) mit q zu multiplizieren und das Antwortspektrum unter neuem Namen zu speichern.
Sd‘(0) = 1,0 * q = 1,5 (siehe auch Abbildung 'Normiertes Antwortspektrum: DIN_EN1998-1NA_A_R' unterhalb)
· Die Wirkung der seismischen Erregung kann dabei 'horizontal', 'vertikal' oder als 'horizontal + orthogonale Richtung' festgelegt werden.
· Die horizontale Erregungsrichtung wird durch Eingabe des Winkels zur x-Achse in der xy-Ebene definiert. Bei vertikaler Erregung ist der Winkel ohne Bedeutung.
· Unter Eigenpaare ist die Anzahl der zu berücksichtigenden Eigenformen festzulegen. Diese Anzahl muss kleiner oder gleich den berechneten Eigenpaaren der vorangegangenen dynamischen Berechnung sein.
· Unter Spektrum ist das Bemessungs-Antwortspektrum, das als Grundlage für die Erregung dienen soll, anzugeben. Durch einen Klick auf den Pfeil wird der Dialog „Normiertes Antwortspektrum“ aufgerufen, um ein Spektrum zu laden oder ein neues Spektrum zu erstellen und zu speichern. Die Wertepaare Eigenperiode T[s] und die Beschleunigung S'd werden in Tabellenform ausgewiesen und das Antwortspektrum grafisch ausgewertet. Nach DIN EN 1998-1/ NA stehen sechs normierte Antwortspektren (A-R, B-R, C-R, B-T, C-T und C-S) zur Verfügung. Für das Beispiel wird das Normierte Antwortspektrum nach DIN EN 1998-1/ NA für die Baugrundklasse A-R verwendet:
Die Wertepaare Eigenperiode T[s] und die normierte Beschleunigung S’d werden in Tabellenform ausgewiesen und das Antwortspektrum grafisch ausgewertet.
Nach dem Verlassen des Dialogs "Seismische Erregung(en)" über "Ersatzlasten ermitteln" werden die statischen Ersatzlasten für jede eingegebene Erregung und untersuchte Eigenform ermittelt und ein „Protokoll der Berechnung der seismischen Lasten“ erstellt.
Mithilfe der Auswahlschaltfläche "Protokoll" im Register "FE-Modell" des Menübandes ist es unter "Seismisches Protokoll" zu finden.
Das erstellte Berechnungsprotokoll dient zur Kontrolle der eingegebenen Erregungen und zur Beurteilung des Einflusses der einzelnen Eigenformen. Für jede Erregung werden die generierten Lastfälle protokolliert und die Beteiligung der jeweiligen Eigenform in [%] ausgewiesen. Nach Norm sind so viele Eigenformen zu berücksichtigen, dass die Summe jeweils mindestens 90% beträgt.
Wichtig: Falls diese Forderung (90%) nicht erreicht wird, muss nach erneuter Generierung die dynamische Berechnung mit einer erhöhten Anzahl von Eigenvektoren erneut durchgeführt werden.
Für das betrachtete Beispiel werden bei Erregung 1 und Erregung 2 die Lastfälle so generiert, dass mit den 23 berücksichtigten Eigenformen die Summe der Beteiligung der effektiven modalen Massen für beide Erregungsrichtungen über 90% beträgt.
Die erstellten Ersatzlasten werden je Erregung (x- bzw. y-Richtung) automatisch zu einer Erdbebenlastgruppe vom Typ „+/- Wurzel aus Summe der Quadrate“ zugeordnet (siehe Abbildung oberhalb).
Die Ersatzlasten werden in jedem Finiten-Elementknoten im Auswertungsraum dargestellt (siehe untenstehendes Bild). Diese Ersatzlasten bleiben bei einer nachträglichen statischen Berechnung erhalten.
Die Ausgabe „Erdbebenlast-LastDef“ ist im Register „FE-Modell“ unter der Auswahlschaltfläche „Lasten“ zu finden:
Nach DIN EN 1998-1 ist beim Erdbebennachweis ein zufällige (nicht planmäßige) Torsionswirkung zu berücksichtigen. Diese Beanspruchungen sind nach Abschnitt 4.3.2 und 4.3.3.3.3 der Norm zu ermitteln. In MicroFe ist dies über die Definition von zusätzlichen Lasten je Erregung oder durch Definition von zusätzlichen Massen möglich. Sollen die Beanspruchungen als zusätzliche Lasten berücksichtigt werden, sind diese Lasten den automatisch erzeugten Lastfällen für zufällige Torsionswirkung zuzuweisen (siehe in Abbildung unterhalb z.B. LF (ERR-1)-T - zufällige Torsionswirkung und LF (ERR-2)-T - zufällige Torsionswirkung)).
Werden die Beanspruchungen alternativ als zusätzliche Masse berücksichtigt, ist für diese Lasten ein eigener Lastfall anzulegen und im Einwirkungsdialog (Register „Einwirkungen“, Gruppe „Einwirkungen“) der Lastfalltyp „nur als Masse berücksichtigen“ zu wählen. (siehe Abbildung unterhalb - LF3)
Da zusätzliche Massen Einfluss auf die Eigenformen haben, müssen diese bereits vor der dynamischen Analyse des Systems angelegt und mit dem entsprechenden Faktor ψE bei der dynamischen Analyse berücksichtigt werden (siehe oben). Die Lastfälle vom Typ 'nur als Masse zu berücksichtigen werden nur bei der dynamischen Berechnung zur Berücksichtigung zusätzlicher Massen angesetzt, nicht aber bei der anschließenden statischen Berechnung.
Im nächsten Bild sind beispielhaft die Lasten zur Berücksichtigung der nicht planmäßigen Torsionswirkung als Trapezlasten auf der Geschossebene je Erregung angesetzt. Soll die Berücksichtigung der nicht planmäßigen Torsionswirkung über zusätzliche Massen erfolgen, so kann dies durch die Definition von Punkt-, Linien- oder Flächenlasten erzielt werden.
Als nächster Berechnungsschritt ist eine erneute Generierung des Modells sowie eine statische Analyse nach Theorie I. Ordnung erforderlich, die sowohl die statischen Lasten als auch die seismischen Lasten berücksichtigt.
Die Ergebnisse (modale Verformungen, Schnittgrößen, ...) der Lastfälle einer Lastgruppe vom Typ '+/- Wurzel aus Summe der Quadrate' werden über die SRSS-Regel (Square Root of the Sum of the Squares) zu jeweils einem Ergebnis zusammengefasst.
Hierzu sind die linearen Lastkombinationen vorzugeben und die 'MIN/MAX-Überlagerung über Lastfälle und Lastkombinationen' zu wählen. Dabei ist darauf zu achten, dass alle Lastfälle einer Erregung den gleichen Lastfaktor erhalten.
Die Lastfälle vom Typ 'zufällige Torsionswirkung', hier (ERR-1)-T und (ERR-2)-T innerhalb der Erdbebenlastgruppe werden nicht mit der SRSS-Regel überlagert, sondern anschließend mit ungünstigem Vorzeichen aufaddiert.
Mit einer nichtlinearen Berechnung können keine sinnvollen Ergebnisse erzielt werden, da keine Überlagerung nach der SRSS-Regel möglich ist.
Um die Überlagerungsvorschrift nach Norm anzuwenden, ist je eine Lastkombination anzulegen, in der alle Lastfälle der einen Erregung den Lastfaktor 1.0 und die der anderen (orthogonalen) Erregung den Lastfaktor 0.3 erhalten.
Im folgenden Bild sind beispielhaft die extremalen Verformungen dargestellt.
Sind alle Lasten Einwirkungen zugeordnet – insbesondere die zur Erdbebeneinwirkung – kann die Bemessung gestartet werden. Bei automatischer Kombinatorik zur Ermittlung der maßgebenden Bemessungskombinationen wird die SRSS-Regel zum Zusammenfassen der Schnittgrößen innerhalb einer Einwirkung angewendet. Die in einer Erdbebeneinwirkung definierten, zweier zueinander orthogonal wirkenden Erregungen werden gemäß DIN 1998-1 überlagert; siehe auch Gleichungen in Abbildung unterhalb aus [5]:
Hinweis: Mit manuell definierten Lastfallkombinationen können keine sinnvollen Bemessungsergebnisse erzeilt werden, da auch hier keine Überlagerung nach der SRSS-Regel möglich ist.
Siehe auch:
[1] DIN EN 1998-1 Auslegung von Bauten gegen Erdbeben. Teil 1: Grundlagen, Erdbebeneinwirkungen und Regeln für Hochbauten; Deutsche Fassung EN 1998-1:2004 + AC:2009 Normenausschuss Bauwesen (NABau) im DIN, Ausgabe Dezember 2010. Beuth Verlag, Berlin.
[2] DIN EN 1998-1/NA Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 8: Auslegung von Bauwerken gegen Erdbeben - Teil 1: Grundlagen, Erdbebeneinwirkungen und Regeln für Hochbau. Normenausschuss Bauwesen (NaBau) im DIN, Ausgabe Januar 2011. Beuth Verlag, Berlin.
[3] DIN 1990: Grundlagen der Tragwerksplanung. Deutsche Fassung EN 1990. Normenausschuss Bauwesen (NaBau) im DIN, Ausgabe Dezember 2010. Beuth Verlag, Berlin
[4] DIN 1990/NA: Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode: Grundlagen der Tragwerksplanung. Normenausschuss Bauwesen (NaBau) im DIN, Ausgabe Dezember 2010. Beuth Verlag, Berlin
[5] Kretz, J.: Erdbebensicherung von Bauwerken. mb-news 2/2011